Родился 31 декабря 1920 года в деревне Колесники Смоленской области. Отец — Кузьмин Кузьма Васильевич (1894—1964). Мать — Кузьмина Феодосия Константиновна (1896—1962). Супруга — Кузьмина Елизавета Николаевна, врач-терапевт, заведующая отделением 1-й поликлиники медицинского центра Управления делами Президента РФ, Заслуженный врач РСФСР. Сын — Сергей (1949 г. рожд.), врач-кардиолог спецполиклиники медицинского центра Управления делами Президента РФ. Дочь — Мария (1956 г. рожд.), врач-кардиолог, работает в клинической спецбольнице медицинского центра Управления делами Президента РФ.

В 1938 году поступил в Ленинградское военно-медицинское училище. Уже в 1940 году был досрочно удостоен звания военного фельдшера и отправлен на фронт — началась советско-финляндская война, во время которой Михаил Кузьмич при 40-градусном морозе оказывал помощь раненым. 6 марта 1940 года война завершилась, и бывшего курсанта вернули в Ленинград для продолжения учебы.

После окончания училища был направлен в Прибалтийский Особый военный округ. Дивизия, в которой служил Кузьмин, 22 июня 1941 года одной из первых приняла бой с немецко-фашистскими войсками.

В составе 363-й дивизии (преобразованной во 2-й гвардейский механизированный корпус) Кузьмин в должности командира санвзвода батальона прошел всю войну от Москвы до Праги. Участвовал в битве за Москву, Сталинградском сражении, в освобождении Украины, Венгрии, Австрии и Чехословакии. Михаил Кузьмич спасал жизни раненым днем и ночью, зимой и летом. Он воевал на Калининском, Северо-Западном, Сталинградском, Донском и Южном фронтах.

После окончания войны и длительного пребывания в госпитале после ранения 11 апреля 1945 года, в результате которого лишился левой руки, зачислен без экзаменов в 1-й Московский медицинский институт по приказу министра здравоохранения: «Зачислить на санитарный факультет. Экзамены сдал на войне». В 1951 году получил диплом врача.
Более 40 лет М.К. Кузьмин проработал на кафедре истории медицины Московской медицинской академии имени Сеченова. Под его руководством было защищено 15 докторских и кандидатских диссертаций по истории медицины.

В 1972 году по его инициативе был открыт памятник медикам — героям Великой Отечественной войны.

Результаты научных поисков Михаила Кузьмича опубликованы в 350 работах (монографии, учебники, лекции по истории медицины, серия работ по истории и методике преподавания).

Кузьмин выступал с программными докладами на 10 международных конгрессах и съездах историков медицины СССР — России, избран почетным членом Советского научного общества историков медицины, Болгарского и Венгерского научных обществ истории медицины.

В 1978 году вышла в свет книга Михаила Кузьмича «История медицины» — о развитии медицины в России. Особо интересны главы, посвященные истории медицины как науки и предмета преподавания, научным медицинским школам, героизму советских медиков, истории формирования врачебной этики.

Большую роль М.К. Кузьмин сыграл в научной разработке экспозиции залов для Центрального музея РАМН: «Медицина и милосердие на войне», «Историки медицины России».

В настоящее время М.К. Кузьмин — заведующий научным сектором музея Московской медицинской академии имени Сеченова.

Награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, «Знак Почета», медалями «За оборону Москвы», «За оборону Сталинграда», «За победу над Германией», «За взятие Будапешта», «За взятие Вены», «За освобождение Праги» и другими. Имеет иностранные награды.

Живет и работает в Москве.